Sin 90º = 1, Sin θ = 2?? Adakah ?

Pada sudut istimewa seperti 30º (π/6), 45º (π/4), 60º(π/3), 90º(π/2) nilai sinusnya dapat dicari tanpa menggunakan kalkulator. Diantara sudut – sudut istimewa tersebut, nilai sinus bernilai 1 ada pada sudut θ = 90º (½π) atau secara umum bisa ditulis :

Sin θ = 1
> θ = ½π(4n + 1)
> n = bilangan bulat.

Namun jika kita bertanya lebih lanjut, mungkin hanya sekedar iseng, apakah hanya sampai 1?Bagaimana jika lebih dari 1, misalnya adakah sudut yang memiliki nilai sinus = 2?

Sin θ = 2 ? Adakah?

Dalam perhitungan bilangan real, θ tidak dapat ditentukan. Namun fungsi tersebut bisa dicari dengan menggunakan metode perhitungan bilangan imajiner pada persamaan bilangan kompleks.

Jadi jawabannya ada.

Lalu selanjutnya berapakah nilainya? Dan bagaimana cara mencarinya? Mari simak penjelasan di bawah ini.

Soal :

Berapakah sudut θ untuk memenuhi fungsi sin θ = 2?

Penyelesaian Soal :

$\begin{aligned} \displaystyle \sin \theta = 2, \theta = \ ... \ ? \\ \ \end{aligned}$

Dalam rumus Euler, untuk setiap bilangan x berlaku hubungan :

$\begin{aligned} \displaystyle e^{i\theta} &= \cos \theta + i \ \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ... \ (1)\\ e^{-i\theta} &= \cos (-\theta) + i \ \sin (-\theta) \\ &= \cos \theta - i \ \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ... \ (2) \\ \ \end{aligned}$

Langkah pertama, kita eliminasikan fungsi cosinus, sehingga yang harus kita lakukan adalah mengurangkan persamaan 2) dengan persamaan 1).

$\begin{aligned} \displaystyle &e^{i\theta} \hspace{1.35cm} = \cos \theta + i \ \sin \theta \\ &e^{-i\theta} \hspace{1.1cm} = \cos \theta - i \ \sin \theta \\ &\noindent \rule{6cm}{0.4pt} -\\ &e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i \ \sin \theta \\ \\ & \textup{atau bisa kita tulis} \\ \\ & \sin \theta \hspace{1cm} = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \ \ \ \ \ ... \ (3) \\ \ \end{aligned}$

Selanjutnya kita gunakan persamaan 3) untuk menentukan berapa nilai θ untuk mencari solusi soal tersebut.

$\begin{aligned} \displaystyle & \Rightarrow \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\ \\ & \Rightarrow 2 \hspace{0.7cm} = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\ \\ & \Rightarrow 4i \hspace{0.6cm} = e^{i\theta} - e^{-i\theta} \\ &\noindent \rule{6cm}{0.4pt} \times e^{i\theta} \\ & \Rightarrow 4ie^{i\theta} \hspace{0.2cm} = e^{i\theta} e^{i\theta} - e^{-i\theta} e^{i\theta} \\ & \Rightarrow 4ie^{i\theta} \hspace{0.2cm} = (e^{i\theta})^{2} - 1 \\ & \Rightarrow (e^{i\theta})^{2} - 4ie^{i\theta} - 1 = 0 \ \ \ \ \ ... \ (4) \ \end{aligned}$

Untuk mencari solusi persamaan 4), bisa digunakan rumus ABC, yaitu sebagai berikut :

$\begin{aligned} \displaystyle e^{i\theta} &= \frac{-(-4i) \pm \sqrt{ (-4i)^{2} - 4(1)(-1) } }{ 2(1)} \\ &= \frac{4i \pm \sqrt{-12}}{2} \\ \\ &= \frac{4i \pm 2i\sqrt{3}}{2} \\ \\ e^{i\theta} &= i (2 \pm \sqrt{3}) \\ \\ ln (e^{i\theta}) &= ln (i (2 \pm \sqrt{3})) \\ \\ i\theta &= ln (i) + ln (2 \pm \sqrt{3}) \ \ \ \ \ ... \ (5) \ \end{aligned}$

Nilai ln (i) = i½π, untuk penjelasannya bisa dilihat pada postingan mencari nilai ln i. Dengan demikian persamaan 5), bisa ditulis :

$\begin{aligned} \displaystyle & i\theta = ln (i) + ln (2 \pm \sqrt{3}) \\ \\ & i\theta = i\frac{\pi}{2} + ln (2 \pm \sqrt{3}) \\ &\noindent \rule{6cm}{0.1pt} \times \frac{1}{i} \\ & \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{i}ln (2 \pm \sqrt{3}) \\ \\ & \theta = \frac{\pi}{2} - i \ ln (2 \pm \sqrt{3}) \\ \\ & \textup{atau bisa ditulis} \\ \\ & \theta = \frac{\pi}{2} - i \ ln (2 \pm \sqrt{3}) + 2\pi n \ \ \ \ \ ... \ (6) \\ \\ & \textup{dengan n = bilangan bulat} \\ \\ \ \end{aligned}$

Dari coret – coret di atas, akhirnya bisa kita buktikan bahwa sin θ = 2 ada, dengan nilai θ adalah persamaan 6), yaitu :

$\begin{aligned} \displaystyle & \theta = \frac{\pi}{2} - i \ ln (2 \pm \sqrt{3}) + 2\pi n \\ \\ & \textup{dengan n = bilangan bulat} \\ \\ \ \end{aligned}$

Semoga bisa dipahami

Salam 🙂

1729n